|
|
楼主 |
发表于 2006-6-2 00:18:27
|
显示全部楼层
实变函数
Realvariable Funktion: die Funktiontheorie basiert an der Theorie der reelle Zahlen und der Mengetheorie. Das Lebesgue Mass und die Integraltheorie.
Mengenlehre
Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Zahlreiche Disziplinen wie Algebra, Analysis, Maßtheorie, Stochastik oder Topologie werden auf der Mengenlehre aufgebaut. Darüber hinaus gibt es wichtige Verbindungen zur Prädikatenlogik.
Definitionen
Gleichheit
Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.
Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. Formal:
Tatsächlich muss eine Menge A aber meist intensional beschrieben werden. Das heißt: Es wird eine Aussageform P( angegeben (mit einer Objektvariablen x, die eine wohlbestimmte Definitionsmenge D haben sollte), sodass x ∈ A genau dann gilt, wenn P( zutrifft. Dafür schreibt man dann:
Zu jeder Menge A gibt es viele verschiedene Aussageformen P(, die diese beschreiben. Die Frage, ob zwei gegebene Aussageformen P( und Q( die selbe Menge beschreiben, ist keineswegs trivial. Im Gegenteil: Viele Fragestellungen der Mathematik lassen sich dieser Form formulieren: "Sind und die gleiche Menge?".
Leere Menge
Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit oder auch {} bezeichnet. Aus der Extensionalität der Mengen folgt, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede "andere" leere Menge enthält die selben Elemente (nämlich keine), ist also gleich.
Teilmenge
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.
B wird dann Obermenge (selten: Übermenge) von A genannt. Formal:
.
• Echte Teilmenge: A ist echte Teilmenge von B (oder B ist echte Obermenge von A), wenn A Teilmenge von B ist, aber von B verschieden,
also jedes Element aus A auch Element von B ist, aber (mindestens) ein Element in B existiert, das nicht in A enthalten ist.
Die Relation "ist Teilmenge von" bildet eine Halbordnung. Die Relation "echte Teilmenge" ist eine strenge Halbordnung.
Es gibt zwei Notationen:
• für "Teilmenge" und für "echte Teilmenge" oder
• für "Teilmenge" und für "echte Teilmenge".
In diesem Artikel wird das erstgenannte System verwendet, es sind jedoch beide weit verbreitet.
Schnittmenge
Schnittmenge von A und B
Gegeben ist eine Menge U von Mengen. Die Schnittmenge von U ist die Menge der Elemente, die in jedem Element von U enthalten sind. Formal:
.
Ist U eine Paarmenge, also , so schreibt man für gewöhnlich
und liest dies: A geschnitten mit B (oder: Der Durchschnitt von A und B) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
Diese Schreibweise lässt sich leicht auf den Durchschnitt aus endlich vielen Mengen A1,A2,...,An verallgemeinern.
Eine ältere Bezeichnung hierfür ist inneres Produkt oder Produkt erster Art. Dieses wird dann auch geschrieben
oder
Abweichende Schreibweise für den Durchschnitt aus beliebig vielen Mengen:
Die Elemente der Menge U, die ja selbst wieder Mengen sind, werden mit Aλ bezeichnet. Es wird eine "Indexmenge" Λ eingeführt, sodass ist. Die Schnittmenge wird dann geschrieben als:
,
also die Menge aller Elemente, die in sämtlichen Mengen Aλ enthalten sind.
Vereinigungsmenge
Vereinigungsmenge von A und B
Dies ist der zu Schnittmenge duale Begriff: Die Vereinigungsmenge von U ist die Menge der Elemente, die in mindestens einem Element von U enthalten sind. Formal:
.
Für schreibt man wieder
und liest dies: A vereinigt mit B (oder: Die Vereinigung von A und B) ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B enthalten sind. Das "oder" ist hier nicht-ausschließend zu verstehen. Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.
Auch diese Schreibweise ist für die Vereinigung endlich vieler Mengen geeignet.
Als ältere Bezeichnung hierfür wird zuweilen noch Summe verwendet und dann geschrieben
A1 + A2 + ... + An oder .
Vorsicht: Der Begriff Summe wird heute auch für die disjunkte Vereinigung von Mengen benutzt.
Unter Verwendung der Indexmenge Λ schreibt man:
.
Differenz und Komplement
A ohne B
Die Differenz wird gewöhnlich nur für zwei Mengen definiert: Die Differenzmenge von A und B ist die Menge der Elemente, die in A, aber nicht in B enthalten sind. Formal:
Ist B ⊆ A, So heißt die Differenz A\B auch Komplement von B in A. Dieser Begriff wird vor allem dann verwendet, wenn A eine Grundmenge ist, die alle in einer bestimmten Untersuchung in Frage stehenden Mengen umfasst. Diese Menge muss dann im Folgenden nicht mehr erwähnt werden, und
heißt einfach das Komplement von B.
Eine andere häufige Schreibweise für ist . Manchmal findet man auch BC oder B'.
Symmetrische Differenz
Die Menge
wird gelegentlich als symmetrische Differenz von A und B bezeichnet. Es handelt sich um die Menge aller Elemente, die jeweils in einer, aber nicht in beiden der beiden Mengen liegen. Bei Verwendung des ausschließenden Oders (XOR oder ) kann man dafür auch schreiben:
Kartesisches Produkt
Die Produktmenge oder das kartesische Produkt, in älterer Terminologie auch Verbindungsmenge oder Produkt zweiter Art, soll hier ebenfalls zunächst als Verknüpfung von zwei Mengen definiert werden:
Die Produktmenge von A und B ist die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus A und deren zweites Element aus B ist.
Die Elemente des kartesischen Produkts sind also keine Elemente der Ausgangsmengen, sondern komplexere Objekte, nämlich geordnete Paare. Formal:
Unter der Verwendung von n-Tupeln lässt sich der Begriff leicht für die Verknüpfung endlich vieler Mengen verallgemeinern:
Für die Produktmenge beliebig vieler Mengen, die durch die Indexmenge Λ benannt werden, schreibt man oder, wenn diese Notation schon für " rodukte erster Art" verwendet wird, . Für die Definition einer solchen Produktmenge wird ein allgemeiner Funktionsbegriff benötigt. Sie ist die Menge aller Funktionen, die jedem Indexelement λ ein Element der Menge Aλ zuordnen. Formal:
Siehe hierzu den Artikel kartesisches Produkt.
Potenzmenge
Die Potenzmenge von A ist die Menge aller Teilmengen von A.
Die Potenzmenge von A enthält jedenfalls die leere Menge und die Menge A. Somit ist , also eine einelementige Menge. Die Potenzmenge einer einelementigen Menge {a} ist , enthält also zwei Elemente. Allgemein gilt: Hat A n Elemente, so hat die Elementanzahl 2n.
Bei unendlichen Mengen ist der Begriff nicht unproblematisch: Es gibt nachweislich kein Verfahren, das alle Teilmengen auflisten könnte. (Siehe dazu: Cantors zweites Diagonalargument.) Bei einem axiomatischen Aufbau der Mengenlehre (etwa ZFC) muss die Existenz der Potenzmenge durch ein eigenes Potenzmengenaxiom gefordert werden. Diese Fragen hängen eng zusammen mit der Problematik des Auswahlaxioms.
Konstruktive Mathematiker betrachten deshalb die Potenzmenge einer unendlichen Menge als einen grundsätzlich unabgeschlossenen Bereich, zu dem - je nach Fortgang der mathematischen Forschung - immer noch neue Mengen hinzugefügt werden können.
Mächtigkeit und Kardinalzahl
Die Mächtigkeit (Kardinalität) einer Menge A wird mit |A| (zuweilen auch #A) bezeichnet bei endlichen Mengen die Anzahl der Elemente von A, also eine natürliche Zahl.
Der Menge der natürlichen Zahlen lässt sich eine solche Zahl nicht zuordnen. Sie hat offenbar mehr Elemente als jede endliche Zahlenmenge; ihre Kardinalität wird gewöhnlich mit bezeichnet.
Betrachtet man die Menge und ihre Potenzmenge als akutal unendliche Mengen, so ergeben sich verschiedene Grade der Unendlichkeit, die als Kardinalzahlen bezeichnet werden. Die Gesamtheit der Kardinalzahlen erweist sich dann als zu groß, um noch als Menge begriffen zu werden.
Gleichwohl ist der Begriff Kardinalzahl eine Verallgemeinerung der Elementanzahl einer (endlichen) Menge. Die Mächtigkeit der Potenzmenge von A wird, auch bei unendlichen Mengen, mit 2|A| bezeichnet.
Die Kardinalzahl der Potenzmenge von , also die Kardinalzahl der reellen Zahlen, wird mit bezeichnet. Die Frage, ob diese Zahl (die nächstgrößere Kardinalzahl nach ) ist, ist Gegenstand der Kontinuumshypothese
Beispiele
Wir betrachten die Mengen , A = {1,2} und B = {1,3}. Es gelten:
• ,
Gesetzmäßigkeiten
Die Menge ist bezüglich der Relation partiell geordnet, denn für alle gilt:
• Reflexivität:
• Antisymmetrie: Aus und folgt A = B
• Transitivität: Aus und folgt
Die Mengen-Operationen Schnitt und Vereinigung sind zueinander kommutativ, assoziativ und distributiv:
• Kommutativgesetz: ,
• Assoziativgesetz: ,
• Distributivgesetz: ,
• De Morgansche Gesetze: ,
Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
• Distributivgesetze: , , und
• Assoziativgesetze: und
Für die symmetrische Differenz gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
• Kommutativgesetz:
• Assoziativgesetz:
• Distributivgesetz:
Maßtheorie
Die Maßtheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die elementargeometrischen Begriffe Streckenlänge, Flächeninhalt, Volumen verallgemeinert und es dadurch ermöglicht, auch komplizierteren Mengen ein Maß zuzuordnen. Sie bildet das Fundament der modernen Integrations- und Wahrscheinlichkeitstheorie.
Als Maß versteht man in der Maßtheorie eine Zuordnung von reellen oder komplexen Zahlen zu einem Teilmengensystem über einer Grundmenge. Die Zuordnung und das Teilmengensystem sollen dabei bestimmte Eigenschaften besitzen. In der Praxis ist häufig nur eine partielle Zuordnung von vornherein bekannt. Zum Beispiel ordnet man in der Ebene Rechtecken das Produkt ihrer Kantenlängen als Flächeninhalt zu. Die Maßtheorie untersucht nun einerseits, ob sich in konsistenter Weise und eindeutig diese Zuordnung auf größere Teilmengensysteme erweitern lässt und andererseits, ob dabei zusätzliche gewünschte Eigenschaften erhalten bleiben. Im Beispiel der Ebene möchte man natürlich auch Kreisscheiben einen sinnvollen Flächeninhalt zuordnen und wird gleichzeitig neben den Eigenschaften, die man von Maßen ganz allgemein verlangt, auch Translationsinvarianz fordern, das heißt der Inhalt einer Teilmenge der Ebene ist unabhänging von ihrer Position.
Definitionen und Beispiele
Messraum, messbare Mengen
Für eine exakte Definition der Grundbegriffe der Maßtheorie beginnen wir mit einer Grundmenge Ω. Wenn eine gewisse Menge Σ von Teilmengen von Ω eine σ-Algebra bildet, dann heißt jede Menge, die Element von Σ ist, messbar (engl. measurable), und die Grundmenge Ω mit der Struktur Σ heißt Messraum (engl. measurable space). Eine Funktion, die die Struktur eines Messraums erhält, heißt messbare Funktion.
Vokabelerklärung:
Die Forderung, dass Σ eine σ-Algebra ist, bedeutet,
• dass Σ mit jeder Menge S auch deren Komplement Ω\S enthält,
• dass Σ die leere Menge (und damit auch deren Komplement Ω) enthält, und
• dass Σ bezüglich der abzählbaren Vereinigung abgeschlossen ist.
Beispiele für Messräume:
• Jede endliche oder abzählbar unendliche Menge, insbesondere also auch die Menge der natürlichen Zahlen N, bildet mit ihrer Potenzmenge als σ-Algebra einen Messraum.
• Ist A eine Teilmenge von Ω, so ist {Ω, , A, Ω\A} eine σ-Algebra.
Maß, Maßraum
Ein Maß μ ist eine Funktion, die jeder Menge S aus Σ einen Wert μ(S) zuordnet. Dieser Wert ist entweder eine nichtnegative reelle Zahl oder (siehe unten wegen möglicher Verallgemeinerungen). Ferner muss gelten:
• Die leere Menge hat das Maß null: .
• Das Maß ist abzählbar additiv (auch σ-additiv), das heißt, wenn E1, E2, E3, ... abzählbar viele paarweise disjunkte Mengen aus Σ sind und E deren Vereinigungsmenge ist, dann ist das Maß μ(E) gleich der Summe .
Die Struktur (Ω, Σ, μ) eines Messraums zusammen mit einem auf diesem definierten Maß heißt Maßraum (engl. measure space).
Beispiele für Maße:
• Das Nullmaß, das jeder Menge S den Wert μ(S)=0 zuordnet.
• Das Zählmaß ordnet jeder Teilmenge S einer endlichen oder abzählbar unendlichen Menge die Anzahl ihrer Elemente zu, μ(S)=|S|.
• Das Lebesgue-Maß auf der Menge der reellen Zahlen mit der Borelschen σ-Algebra, definiert als translationsinvariantes Maß mit μ([0,1])=1.
• Das Haar-Maß auf lokal kompakten topologischen Gruppen.
• Wahrscheinlichkeitsmaße, mit μ(Ω)=1.
Nullmenge, vollständig, fast überall
Eine Nullmenge ist eine Menge S aus Σ mit dem Maß μ(S) = 0. Ein Maß heißt vollständig, wenn jede Teilmenge jeder Nullmenge in Σ enthalten ist. Eine Eigenschaft gilt fast überall in Ω, wenn sie nur in einer Nullmenge nicht gilt.
Beispiele für Nullmengen:
• Die leere Menge ist stets eine Nullmenge.
• Jede höchstens abzählbare Teilmenge der reellen Zahlen ist eine Nullmenge bzgl. des Lebesgue-Maßes.
endlich, σ-endlich
Ein Maß heißt endlich, wenn . Ein Maß heißt σ-endlich, wenn Ω die Vereinigung einer abzählbaren Folge messbarer Mengen ist, die alle ein endliches Maß haben.
σ-endliche Maße haben einige schöne Eigenschaften, die gewisse Analogie zu den Eigenschaften separabler topologischer Räume aufweisen.
Beispiele
• Das Zählmaß auf der Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, aber σ-endlich.
• Das kanonische Lebesgue-Maß auf der Menge der reellen Zahlen ist ebenfalls unendlich, aber σ-endlich, denn kann als Vereinigung abzählbar vieler endlicher Intervalle dargestellt werden.
Verallgemeinerungen
Eine mögliche Verallgemeinerung betrifft den Wertebereich der Funktion μ.
• Man kann negative reelle oder komplexe Werte zulassen (komplexes oder signiertes Maß).
• Ein weiteres Beispiel einer Verallgemeinerung ist das Spektralmaß, dessen Werte lineare Operatoren sind. Dieses Maß wird insbesondere in der Funktionalanalysis für das Spektraltheorem benutzt.
Eine andere Möglichkeit der Verallgemeinerung ist die Definition eines Maßes auf der Potenzmenge.
• Siehe äußeres Maß
Historisch wurden zuerst endlich additive Maße eingeführt. Die moderne Definition, derzufolge ein Maß abzählbar additiv ist, erwies sich jedoch als nützlicher.
Lebesgue-Integral
Das Lebesgue-Integral ist der Integralbegriff der modernen Mathematik, der die Berechnung von Integralen in beliebigen Maßräumen ermöglicht. Im Fall der reellen Zahlen mit dem Lebesgue-Maß stellt das Lebesgue-Integral eine echte Verallgemeinerung des Riemann-Integrals dar (jede Riemann-integrierbare Funktion ist Lebesgue-integrierbar, aber nicht umgekehrt).
So wie ein Riemann-Integral durch die Konvergenz des Flächeninhaltes einer Folge von Treppenfunktionen definiert ist, so ist das Lebesgue-Integral durch die Konvergenz einer Folge von halbstetigen Funktionen definiert. Anschaulich gesprochen: Das Lebesgue-Integral wird durch waagrechte, das Riemann-Integral durch senkrechte Flächen-Streifen angenähert.
Das Lebesgue-Integral ist nach Henri Léon Lebesgue benannt.
Definition
Sei (Ω, ∑, µ) ein Maßraum. Eine positive Treppenfunktion
wird auch einfache Funktion oder Elementarfunktion genannt, wobei 1Ai die charakteristische Funktion, αi eine positive, reelle Zahl und Ai messbare Mengen sind.
Das Integral für einfache Funktionen wird mittels
definiert.
Eine positive Funktion , B Borelsche σ-Algebra, ist genau dann messbar, wenn es eine Folge fn von einfachen Funktionen gibt, die punktweise und monoton wachsend gegen f konvergiert. Das Integral einer positiven, messbaren Funktion definieren wir als
wobei fn einfach sind und punktweise und monoton wachsend gegen f konvergieren. Der Limes ist von der speziellen Wahl der Folge fn unabhängig.
Der Positivteil f+ einer Funktion f ist definiert als
f + = max(f,0).
Der Negativteil f − wird entsprechend durch f − = ( − f) + definiert.
Gilt oder , so nennen wir f quasiintegrierbar und definieren
∫ fdμ = ∫ f + dμ − ∫ f − dμ.
Ω Ω Ω
Gilt und wird f integrierbar oder genauer µ-integrierbar genannt. Dies ist genau dann der Fall, falls .
Zusammenfassend gilt also: Eine positive Treppenfunktion nennt man integrierbar, falls die "Gesamtfläche" unter der Kurve endlich ist. Das Integral ist dann gerade die Summe. Für eine postive, messbare Funktion ist das Integral definiert als der Grenzwert vom Integral von postiven Treppenfunktionen. Für beliebige messbare Funktionen ist das Integral definiert als das Integral des Postivteils minus dem Integral des Negativteils. In beiden Fällen nennt man eine Funktion integrierbar, falls das Integral endlich ist.
Satz
Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi, 1906)
Ist eine monoton wachsende Folge von positiven, messbaren Funktionen, so gilt
.
Satz von der majorisierten (dominierten) Konvergenz (Henri Léon Lebesgue, 1910)
Seien messbare Funktionen mit µ fast überall (d.h. bis auf eine Nullmenge) und g integrierbar. Gilt für alle n, so ist f integrierbar und es gilt
und
Schreibweisen
Für das Lebesgue-Integral werden zahlreiche Schreibweisen verwendet:
Das Integral über eine Teilmenge von Ω ist definiert als . (Das ist das gleiche wie das Integral im eingeschränkten Maßraum (A,Σ',μ'), wobei Σ' aus den Mengen in Σ besteht, die Teilmengen von A sind, und μ' = μ | Σ'.) Wenn keine Menge angegeben ist, ist in der Regel das Integral über den gesamten Raum gemeint: (nicht zu verwechseln mit dem unbestimmten Integral).
Wenn man eine Integrationsvariable x angeben will, schreibt man oder oder auch . Ist μ das Lebesgue-Maß, so schreibt man statt dμ( einfach dx, im eindimensionalen Fall schreibt man für das Integral über das Intervall [a,b] oder ]a,b[.
Wenn das Maß μ eine Radon-Nikodym-Dichte h bezüglich des Lebesgue-Maßes besitzt, gilt . In Anwendungsgebieten wird die Schreibweise häufig auch dann verwendet, wenn μ formal keine Dichte besitzt. Dies ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn man h nicht als Funktion, sondern als Distribution auffasst.
Ist das Maß μ im Fall durch eine kumulative Funktion F definiert, so schreibt man auch oder (Stieltjes-Integral).
Ist μ ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so schreibt man auch E(f) für (Erwartungswert). In der theoretischen Physik wird die Schreibweise verwendet, in der Funktionalanalysis manchmal die Schreibweise μ(f). |
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2006-6-2 00:01:31
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
显身卡